Статистика - Оценка доли совокупности

Доля совокупности - это часть совокупности, которая принадлежит к определенной категории.

Доверительные интервалы используются для estimate доли совокупности.

Оценка доли совокупности

Статистика выборки используется для оценки параметра генеральной совокупности.

Наиболее вероятное значение параметра - это точечная оценка.

Кроме того, мы можем вычислить нижнюю границу и верхнюю границу для оценочного параметра.

Предел погрешности - это разница между нижней и верхней границами от точечной оценки.

Вместе нижняя и верхняя границы определяют доверительный интервал.

Расчет доверительного интервала

Для расчета доверительного интервала используются следующие шаги:

1. Проверьте условия
2. Найдите точечную оценку
3. Определите уровень достоверности
4. Рассчитайте погрешность
5. Рассчитайте доверительный интервал

Например:

• Совокупность: Лауреаты Нобелевской премии
• Категория: Родился в Соединенных Штатах Америки

Мы можем взять выборку и посмотреть, сколько из них родились в США.

Выборки данных используются для оценки доли всех лауреатов Нобелевской премии, родившихся в США.

Случайным образом выбрав 30 лауреатов Нобелевской премии, мы смогли найти, что:

По этим данным мы можем рассчитать доверительный интервал, выполнив следующие действия.

1. Проверка условий

Условия для расчета доверительного интервала для доли следующие:

• Выборка произведена случайным образом
• Есть только два варианта:
• Находиться в категории
• Не в категории
• Для выборки требуется как минимум:
• 5 участников в категории
• 5 участников не в категории

В нашем примере мы случайным образом выбрали 6 человек, родившихся в США.

Остальные не родились в США, поэтому 24 из них принадлежат к другой категории.

В этом случае условия выполнены.

2. Нахождение точечной оценки

Точечная оценка - это доля выборки ($\hat{p}$).

Формула для расчета доли выборки - это количество вхождений ($x$), делённое на размер выборки ($n$):

${\displaystyle \hat{p}=\frac{x}{n}}$

В нашем примере 6 из 30 родились в США: $x$ is 6, and $n$ is 30.

Таким образом, точечная оценка доли равна:

${\displaystyle \hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{6}{30}=\underset{―}{0.2}=20\mathrm{\%}}$

Таким образом, 20% из выборки родились в США.

3. Определение уровня достоверности

Уровень достоверности выражается в процентах или десятичном числе.

Например, если уровень достоверности 95% или 0,95:

Оставшаяся вероятность ($\alpha$) тогда равна: 5%, или 1 - 0.95 = 0.05.

Обычно используемые уровни достоверности:

• 90% с $\alpha$ = 0.1
• 95% с $\alpha$ = 0.05
• 99% с $\alpha$ = 0.01

Мы используем стандартное нормальное распределение, чтобы найти предел погрешности для доверительного интервала.

Остальные вероятности ($\alpha$) делятся на две, так что половина находится в каждой хвостовой области распределения.

Значения на оси z-значений, которые отделяют область хвоста от середины, называются критическими z-значениями.

Ниже приведены графики стандартного нормального распределения, показывающие области хвоста ($\alpha$) для различных уровней достоверности.

4. Расчет погрешности

Предел погрешности - это разница между точечной оценкой и нижней и верхней границами.

Предел погрешности ($E$) для пропорции рассчитывается с помощью критического z-значения и стандартной ошибки:

${\displaystyle E=Z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}$

Критическое z-значение $Z_{\alpha /2}$ рассчитывается на основе стандартного нормального распределения и уровня достоверности.

Стандартная ошибка $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ рассчитывается из точечной оценки ($\hat{p}$) и размера выборки ($n$).

В нашем примере с 6 лауреатами Нобелевской премии, родившимися в США из 30 выборки, стандартная ошибка равна:

${\displaystyle \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0.2(1-0.2)}{30}}=\sqrt{\frac{0.2\cdot 0.8}{30}}=\sqrt{\frac{0.16}{30}}=\sqrt{0.00533..}\approx \underset{―}{0.073}}$

Если мы выберем 95% в качестве уровня достоверности $\alpha$ составляет 0.05.

Т.о. нам нужно найти критическое z-значение $Z_{0.05/2}=Z_{0.025}$

Критическое z-значение можно найти с помощью Z-table или с помощью функции языка программирования:

Используя любой метод, мы можем найти, что критическое Z-значение $Z_{\alpha /2}$ is $\approx \underset{―}{1.96}$

Стандартная ошибка $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ была $\approx \underset{―}{0.073}$

Таким образом, предел погрешности ($E$) является:

${\displaystyle E=Z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\approx 1.96\cdot 0.073=\underset{―}{0.143}}$

5. Рассчитайте доверительный интервал

Нижняя и верхняя границы доверительного интервала находятся путем вычитания и прибавления погрешности ($E$) из точечной оценки ($\hat{p}$).

В нашем примере точечная оценка составила 0,2, а предел погрешности - 0,143, тогда:

Нижняя граница:

$\hat{p}-E=0.2-0.143=\underset{―}{0.057}$

Верхняя граница:

$\hat{p}+E=0.2+0.143=\underset{―}{0.343}$

Доверительный интервал:

$[0.057,0.343]$ or $[5.7\mathrm{\%},34,4\mathrm{\%}]$

И мы можем резюмировать доверительный интервал, указав:

Расчет доверительного интервала с помощью программирования

Доверительный интервал можно рассчитать с помощью многих языков программирования.

Использование программного обеспечения и программирования для расчета статистики более распространено для больших наборов данных, поскольку расчет вручную становится затруднительным.