Статистика - Гипотеза, проверяющая пропорцию

❮ Prev Next ❯

Пропорция совокупности - это доля совокупности, которая принадлежит к определенной категории.

Тесты гипотез используются для проверки утверждения о размере этой доли совокупности.

Гипотеза, проверяющая пропорцию

Для проверки гипотез используются следующие шаги:

Проверить условия
Определить претензии
Определить уровень значимости
Рассчитать статистику теста
Заключение

Например:

Совокупность: Лауреаты Нобелевской премии
Категория: Рожденные в Соединенных Штатах Америки.

И мы хотим проверить претензию:

"Более чем 20% лауреатов Нобелевской премии родились в США"

Взяв выборку из 40 случайно выбранных лауреатов Нобелевской премии, мы смогли обнаружить, что:

10 из 40 нобелевских лауреатов в выборке родились в США.

Тогда пропорция выборки будет: $\frac{10}{40} = 0.25$ , или 25%.

По этим выборкам данных мы проверяем претензию, выполнив следующие действия:

1. Проверка условий

Условиями расчета доверительного интервала для доли являются:

Выборка произведена случайным образом
Есть только два варианта:

Находится в категории
Не в категории

Для выборки требуется как минимум:

5 участников в категории
5 участников не в категории

В нашем примере мы случайным образом выбрали 10 человек, родившихся в США.

Остальные не родились в США, поэтому 30 из них принадлежат к другой категории.

В этом случае условия выполняются

Примечание: Можно провести проверку гипотез, не имея по 5 человек из каждой категории. Но необходимо внести особые корректировки.

2. Определение претензий

Нам нужно определить нулевую гипотезу ( $H_{0}$ ) и альтернативную гипотезу ( $H_{1}$ ) на основе утверждения, которое мы проверяем.

Претензия была:

"Более чем 20% лауреатов Нобелевской премии родились в США".

В этом случае параметр представляет собой долю лауреатов Нобелевской премии, родившихся в США ( $p$ ).

Тогда нулевая и альтернативная гипотеза:

Нулевая гипотеза: 20% лауреатов Нобелевской премии родились в США.

Альтернативная гипотеза: Более, чем 20% лауреатов Нобелевской премии родились в США.

Что можно выразить символами как:

$H_{0}$ : $p = 0.20$

$H_{1}$ : $p > 0.20$

Это "правосторонний" тест, поскольку альтернативная гипотеза утверждает, что пропорция больше, чем в нулевой гипотезе.

Если данные подтверждают альтернативную гипотезу, мы отклоняем нулевую гипотезу и принимаем альтернативную гипотезу.

3. Определение уровня значимости

Уровень значимости ( $α$ ) - это неопределённость, которую мы принимаем при отклонении нулевой гипотезы в проверке гипотез.

Уровень значимости - это процентная вероятность случайного ошибочного вывода.

Типичные уровни значимости:

$α = 0.1$ (10%)
$α = 0.05$ (5%)
$α = 0.01$ (1%)

Более низкий уровень значимости означает, что доказательства в данных должны быть более убедительными, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Не существует "правильного" уровня значимости - он лишь констатирует неопределенность вывода.

Примечание: 5% уровень значимости означает, что когда мы отклоняем нулевую гипотезу:

Мы ожидаем отклонить истинную нулевую гипотезу в 5 случаях из 100.

4. Расчет статистики теста

Статистика теста используется для определения результата проверки гипотезы.

Статистика теста - это стандартизованное значение, вычисленное по выборке.

Формула для тестовой статистики (TS) доли населения:

$\frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p (1 - p)}} \cdot \sqrt{n}$

$\hat{p} - p$ - это разница между пропорцией выборки ( $\hat{p}$ ) и заявленной пропорцией совокупности ( $p$ ).

$n$ - размер выборки.

В нашем примере:

Заявленная ( $H_{0}$ ) доля совокупности ( $p$ ) была $0.20$

Доля выборки ( $\hat{p}$ ) была 10 из 40, или: $\frac{10}{40} = 0.25$

Размер выборки ( $n$ ) был $40$

Таким образом, тестовая статистика (TS) тогда:

$\frac{0.25 - 0.20}{\sqrt{0.2 (1 - 0.2)}} \cdot \sqrt{40} = \frac{0.05}{\sqrt{0.2 (0.8)}} \cdot \sqrt{40} = \frac{0.05}{\sqrt{0.16}} \cdot \sqrt{40} \approx \frac{0.05}{0.4} \cdot 6.325 = \underset{―}{0.791}$

Вы также можете рассчитать статистику теста, используя функции языка программирования:

Пример

В Python используйте библиотеки scipy и math для вычисления статистики теста для пропорции.

import scipy.stats as stats
import math

# Укажите количество вхождений (x), размер выборки (n) и пропорцию, заявленную в нулевой гипотезе (p)
x = 10
n = 40
p = 0.2

# Рассчитайте долю выборки
p_hat = x/n

# Рассчитайте и распечатайте тестовую статистику
print((p_hat-p)/(math.sqrt((p*(1-p))/(n))))

Попробуйте сами »

Пример

В R используйте встроенную функцию prop.test() чтобы вычислить статистику теста для пропорции.

# Укажите количество примеров (x), размер выборки (n) и утверждение нулевой гипотезы (p)
x <- 10
n <- 40
p <- 0.20

# Рассчитайте долю выборки
p_hat = x/n

# Рассчитайте и распечатайте тестовую статистику
(p_hat-p)/(sqrt((p*(1-p))/(n)))

Попробуйте сами »

5. Заключение

Существует два основных подхода к заключению проверки гипотез:

Подход критического значения сравнивает статистику теста с критическим значением уровня значимости.
Подход P-значения сравнивает P-значение тестовой статистики и уровень значимости.

Примечание: Эти два подхода отличаются только тем, как они представляют заключение.

Подход критических значений

Для подхода критического значения нам нужно найти критическое значение (CV) уровня значимости ( $α$ ).

Для теста доли совокупности критическим значением (CV) является Z-значение из стандартного нормального распределения.

Это критическое Z-значение (CV) определяет область отклонения для теста.

Область отклонения - это область вероятности в хвостах стандартного нормального распределения.

Поскольку утверждается, что доля совокупности более чем 20%, область отклонения находится в правом хвосте:

Стандартное нормальное распределение с правой областью хвоста (область отклонения), обозначенной греческим символом alpha

Размер области отклонения определяется уровнем значимости ( $α$ ).

Выбрав уровень значимости ( $α$ ) 0.05, или 5%, мы можем найти критическое Z-значение из Z-таблицы, или с функцией языка программирования:

Примечание: Функции находят Z-значение для области с левой стороны.

Чтобы найти Z-значение для правого хвоста, нам нужно использовать функцию в области слева от хвоста (1-0.05 = 0.95).

Пример

В Python используйте функцию библиотеки Scipy Stats norm.ppf() найдите Z-значение для $α$ = 0.05 в правом хвосте.

import scipy.stats as stats
print(stats.norm.ppf(1-0.05))

Попробуйте сами »

Пример

В R используйте встроенную функцию qnorm() чтобы найти Z-значение для $α$ = 0.05 в правом хвосте.

qnorm(1-0.05)

Попробуйте сами »

Используя любой метод, мы можем найти, что критическое Z-значение равно $\approx \underset{―}{1.6449}$

Для правостороннего теста нам нужно проверить, не является ли тестовая статистика (TS) больше критического значения (CV).

Если статистика теста больше критического значения, статистика теста находится в области отклонения.

Когда статистика теста находится в области отклонения, мы отклоняем нулевую гипотезу ( $H_{0}$ ).

Здесь тестовая статистика (TS) была $\approx \underset{―}{0.791}$ , а критическое значение было $\approx \underset{―}{1.6449}$

Вот иллюстрация этого теста в виде графика:

Стандартное нормальное распределение с областью правого хвоста (область отклонения), равной 0,05, критическим значением 1,6449 и тестовой статистикой 0,791

Поскольку статистика теста была меньше критического значения, мы не отклоняем нулевую гипотезу.

Это означает, что выборки данных не подтверждают альтернативную гипотезу.

И мы можем резюмировать вывод о том, что:

Данные выборки не подтверждают утверждение о том, что "более 20 лауреатов Нобелевской премии родились в США" при 5% уровне значимости.

Подход P-значение

Для подхода P-значения нам нужно найти P-значение тестовой статистики (TS).

Если P-значение меньше уровня значимости ( $α$ ), мы отклоняем нулевую гипотезу ( $H_{0}$ ).

Статистические данные теста оказались равными $\approx \underset{―}{0.791}$

Для теста доли совокупности, статистика теста представляет собой Z-значение из стандартного нормального распределения.

Поскольку это правосторонний тест, нам нужно найти P-значение для Z-значения, больше 0,791.

Мы можем найти P-значение с помощью Z-таблицы или с помощью функции языка программирования:

Примечание: Функции находят P-значение (площадь) слева от Z-значения.

Чтобы найти P-значение для правого хвоста, нам нужно вычесть левую область из общей площади: 1 - результат функции.

Пример

В Python используйте функцию библиотеки Scipy Stats norm.cdf(), чтобы найти P-значение Z-значения больше 0,791:

import scipy.stats as stats
print(1-stats.norm.cdf(0.791))

Попробуйте сами »

Пример

С помощью R используйте встроенную функцию pnorm() чтобы найти P-значение Z-значения больше 0,791:

1-pnorm(0.791)

Попробуйте сами »

Используя любой метод, мы можем найти, что P-значение равно $\approx \underset{―}{0.2145}$

Это говорит нам о том, что уровень значимости ( $α$ ) должен быть больше 0,2145 или 21,45%, чтобы отклонить нулевую гипотезу.

Вот иллюстрация этого теста в виде графика:

P-значение

Это P-значение больше, чем любой из распространённых уровней значимости (10%, 5%, 1%).

Таким образом, нулевая гипотеза сохраняется на всех этих уровнях значимости.

И мы можем резюмировать вывод о том, что:

Выборки данных не поддерживают утверждение о том, что "более, чем 20% лауреатов Нобелевской премии родились в США" при 10%, 5%, или 1% уровне значимости.

Примечание: Возможно, все ещё верно, что реальная доля совокупности превышает 20%.

Но на этой выборке не было достаточно веских доказательств, чтобы подтвердить это.

Расчет P-значения для проверки гипотез с помощью программирования

Многие языки программирования могут вычислять P-значение для определения результата проверки гипотез.

Использование программного обеспечения и программирования для расчета статистики более распространено для больших наборов данных, поскольку вычисление вручную становится затруднительным.

Рассчитанное здесь P-значение покажет нам минимально возможный уровень значимости, при котором нулевая гипотеза может быть отклонена.

Пример

В Python используйте библиотеки scipy и math для вычисления P-значения для проверки гипотезы с правым хвостом для пропорции.

Здесь размер выборки - 40, повторов - 10, а тест - для доли, превышающей 0,20.

import scipy.stats as stats
import math

# Укажите количество вхождений (x), размер выборки (n) и пропорцию, заявленную в нулевой гипотезе (p)
x = 10
n = 40
p = 0.2

# Рассчитайте долю выборки
p_hat = x/n

# Рассчитайте тестовую статистику
test_stat = (p_hat-p)/(math.sqrt((p*(1-p))/(n)))

# Выведите p-значение тестовой статистики (правосторонний тест)
print(1-stats.norm.cdf(test_stat))

Попробуйте сами »

Пример

В R используйте встроенную функцию prop.test(), чтобы найти P-значение для проверки гипотезы с правым хвостом для пропорции.

Здесь размер выборки - 40, повторов - 10, а тест - для доли, превышающей 0,20.

# Укажите количество примеров (x), размер выборки (n) и утверждение нулевой гипотезы (p)
x <- 10
n <- 40
p <- 0.20

# P-значение из теста пропорции правого хвоста при уровне значимости 0,05
prop.test(x, n, p, alternative = c("greater"), conf.level = 0.95, correct = FALSE)$p.value

Попробуйте сами »

Примечание: conf.level в коде R является обратным уровню значимости.

Здесь уровень значимости 0,05, или 5%, т.о. conf.level равно 1-0.05 = 0.95, или 95%.

Левосторонние и двусторонние тесты

Это был пример правостороннего теста, в котором альтернативная гипотеза утверждала, что параметр больше, чем утверждение нулевой гипотезы.

Вы можете ознакомиться с аналогичным пошаговым руководством для других типов здесь:

❮ Prev Next ❯

HTML и CSS

Искусственный интеллект

XML

JavaScript

Программирование

Серверная сторона

Веб-строительство

Искусственный интеллект

XML

HTML

CSS

JavaScript

Программирование

Серверная сторона

XML

Наборы символов

Упражнения

Викторины

Сертификаты

Статистика Учебник

Описательная статистика

Выведенная статистика

Stat Справочник

Статистика - Гипотеза, проверяющая пропорцию

Гипотеза, проверяющая пропорцию

1. Проверка условий

2. Определение претензий

3. Определение уровня значимости

4. Расчет статистики теста

Пример

Пример

5. Заключение

Подход критических значений

Пример

Пример

Подход P-значение

Пример

Пример

Расчет P-значения для проверки гипотез с помощью программирования

Пример

Пример

Левосторонние и двусторонние тесты

ПАЛИТРА ЦВЕТОВ

ПРИСОЕДИНЯЙТЕСЬ!

Связь с админом

Топ Учебники

Топ Справочники

Топ Примеры

Веб Сертификаты