Статистика - Гипотеза, проверяющая среднее

Среднее генеральной совокупности - это среднее значение генеральной совокупности.

Тесты гипотез используются для проверки утверждения о размере этого среднего совокупности.

Гипотеза, проверяющая среднее

Для проверки гипотез используются следующие шаги:

1. Проверить условия
2. Определить претензии
3. Определить уровень значимости
4. Рассчитать статистику теста
5. Заключение

Например:

• Совокупность: Лауреаты Нобелевской премии
• Категория: Возраст, когда они получили премию

И мы хотим проверить претензию:

Взяв выборку из 30 случайно выбранных лауреатов Нобелевской премии, мы смогли обнаружить, что:

По этим выборкам данных мы проверяем претензию, выполнив следующие действия.

1. Проверка условий

Условия для расчета доверительного интервала для доли:

• Выборка произведена случайным образом
• А также:
• Данные о совокупности распределены нормально
• Размер выборки достаточно велик

Обычно достаточно большого размера выборки, например 30.

В этом примере размер выборки был 30, и она была выбрана случайным образом, поэтому условия выполняются.

2. Определение претензий

Нам нужно определить нулевую гипотезу ($H_0$) и альтернативную гипотезу ($H_1$) на основе утверждения, которое мы проверяем.

Претензия была:

В этом случае параметр - это средний возраст лауреатов Нобелевской премии, когда они получили премию ($\mu$).

Тогда нулевая и альтернативная гипотезы:

Что можно выразить символами как:

Это 'правый хвост' теста, поскольку альтернативная гипотеза утверждает, что пропорция больше, чем в нулевой гипотезе.

Если данные подтверждают альтернативную гипотезу, мы отклоняем нулевую гипотезу и принимаем альтернативную гипотезу.

3. Определение уровня значимости

Уровень значимости ($\alpha$) - это неопределённость, которую мы принимаем при отклонении нулевой гипотезы в проверке гипотез.

Уровень значимости - это процентная вероятность случайного ошибочного вывода.

Типичные уровни значимости:

• $\alpha =0.1$ (10%)
• $\alpha =0.05$ (5%)
• $\alpha =0.01$ (1%)

Более низкий уровень значимости означает, что доказательства в данных должны быть более убедительными, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Не существует "правильного" уровня значимости - он лишь констатирует неопределенность вывода.

4. Расчет статистики теста

Статистика теста используется для определения результата проверки гипотезы.

Статистика теста - это стандартизованное значение, рассчитанное на основе выборки.

Формула для тестовой статистики (TS) среднего значения генеральной совокупности:

${\displaystyle \frac{\overline{x}-\mu }{s}\cdot \sqrt{n}}$

$\overline{x}-\mu$ - это разница между выборкой среднего ($\overline{x}$) и заявленным средним совокупности ($\mu$).

$s$ - это стандартное отклонение выборки.

$n$ - это размер выборки.

В нашем примере:

Таким образом, тестовая статистика (TS) тогда:

${\displaystyle \frac{62.1-55}{13.46}\cdot \sqrt{30}=\frac{7.1}{13.46}\cdot \sqrt{30}\approx 0.528\cdot 5.477=\underset{―}{2.889}}$

Вы также можете рассчитать статистику теста, используя функции языка программирования:

5. Заключение

Существует два основных подхода к заключению проверки гипотезы:

• Подход критического значения сравнивает статистику теста с критическим значением уровня значимости
• Подход P-значения сравнивает P-значение тестовой статистики и уровень значимости

Подход критических значений

Для подхода критического значения нам нужно найти критическое значение (CV) уровня значимости ($\alpha$).

Для теста на среднее значение для генеральной совокупности критическое значение (CV) - это T-значение из стьюдент t-распределения.

Это критическое T-значение (CV) определяет область отклонения для теста.

Область отклонения - это область вероятности в хвостах стандартного нормального распределения.

Поскольку утверждается, что среднее значение генеральной совокупности больше чем 55, область отклонения находится в правом хвосте:

Размер области отклонения определяется уровнем значимости ($\alpha$).

Стьюдент t-распределение скорректировано с учетом неопределенности по меньшим выборкам.

Эта корректировка называется степенями свободы (df), то есть размером выборки $(n)-1$

В этом случае степени свободы (df) равны: $30-1=\underset{―}{29}$

Выбрав уровень значимости ($\alpha$) 0,01 или 1%, мы можем найти критическое T-значение из T-таблицы, или с помощью функции языка программирования:

Используя любой метод, мы можем найти, что критическое T-значение равно $\approx \underset{―}{2.462}$

Для правостороннего теста необходимо проверить, не превышает ли тестовая статистика (TS) критическое значение (CV).

Если тестовая статистика больше критического значения, то тестовая статистика находится в области отклонения.

Когда статистика теста находится в области отклонения, мы отклоняем нулевую гипотезу ($H_0$).

Здесь тестовая статистика (TS) была $\approx \underset{―}{2.889}$, а критическое значение было $\approx \underset{―}{2.462}$

Вот иллюстрация этого теста в виде графика:

Поскольку статистика теста была больше критического значения, мы отклоняем нулевую гипотезу.

Это означает, что выборки данных подтверждают альтернативную гипотезу.

И мы можем резюмировать вывод о том, что:

Подход P-значения

Для подхода P-значения нам нужно найти P-значение тестовой статистики (TS).

Если P-значение меньше уровня значимости ($\alpha$), мы отклоняем нулевую гипотезу ($H_0$).

Статистика теста оказалась $\approx \underset{―}{2.889}$

Для теста доли населения статистика теста представляет собой T-значение из стьюдент t-распределения.

Поскольку это правосторонний тест, нам нужно найти P-значение для T-значения больше чем 2,889.

Стьюдент T-распределение корректируется в соответствии со степенями свободы (df), которые являются размером выборки $(30)-1=\underset{―}{29}$

Мы можем найти P-значение с помощью T-таблицы или с помощью функции языка программирования:

Используя любой метод, мы можем найти, что p-значение равно $\approx \underset{―}{0.0036}$

Это говорит нам о том, что уровень значимости ($\alpha$) должен быть больше 0.0036, или 0.36%, чтобы отклонить нулевую гипотезу.

Вот иллюстрация этого теста в виде графика:

Это P-значение меньше, чем любой из распространенных уровней значимости (10%, 5%, 1%).

Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется на всех этих уровнях значимости.

И мы можем резюмировать вывод, констатируя:

Расчет P-значения для проверки гипотез с помощью программирования

Многие языки программирования могут вычислять P-значение для определения результата проверки гипотез.

Использование программного обеспечения и программирования для расчета статистики более распространено для больших наборов данных, поскольку вычисление вручную становится затруднительным.

Рассчитанное здесь P-значение покажет нам самый низкий возможный уровень значимости, при котором нулевая гипотеза может быть отклонена.

Левосторонние и двусторонние тесты

Это был пример правостороннего теста, в котором альтернативная гипотеза утверждала, что параметр больше, чем утверждение нулевой гипотезы.

Вы можете ознакомиться с аналогичным пошаговым руководством для других типов здесь:

• Левосторонний тест
• Двусторонний тест